行星齿轮组的转速关系思考
最近，我对行星齿轮产生了兴趣，因此尝试推导一下行星齿轮各部分的转速关系。
行星齿轮简化图如上，行星轮与外齿圈啮合于A点，行星轮与太阳轮啮合于B点，假设顺时针旋转的角速度为正。
太阳轮半径为，顺时针旋转角速度为
(资料图)
行星架半径为，顺时针旋转的角速度为
行星轮半径为，跟随行星架公转的角速度为行星架的角速度，绕行星架上O点顺时针自转的角速度为
外齿圈的半径为，顺时针旋转的角速度为
齿轮啮合处，两个齿轮的线速度大小和方向是相同的。
在A点，外齿圈的线速度大小为，方向向右。行星轮在A点的线速度由公转速度和自转速度两部分构成。假设行星轮绕O点自转角速度为0，比如行星轮焊死在了行星架上，那行星轮在A点就只有公转产生的线速度，大小是公转角速度乘以A点到公转中心的距离，方向向右。假设行星轮公转的角速度为0，只绕O点自转，那行星轮在A点就只有自转产生的线速度，大小是自转角速度乘以A点到自转中心的距离，方向向右。综合考虑公转和自转，由于公转和自转在A点的线速度方向都向右，因此可以直接相加，所以可以得到这个式子：
①
同理，在B点，太阳轮的线速度大小为，方向向右。行星轮在B点的线速度由公转速度和自转速度两部分构成。假设行星轮绕O点自转角速度为0，比如行星轮焊死在了行星架上，那行星轮在B点就只有公转产生的线速度，大小是公转角速度乘以B点到公转中心的距离，方向向右。假设行星轮公转的角速度为0，只绕O点自转，那行星轮在B点就只有自转产生的线速度，大小是自转角速度乘以B点到自转中心的距离，方向向左。综合考虑公转和自转，由于自转在B点的线速度方向与公转在B点的方向相反，因此需要相减，所以可以得到这个式子：
②
如果各半径已知，那有4个未知数，分别是各齿轮的转速。这里有两个方程，只要给定两个转速，就可以求出另外两个转速。所以一个行星齿轮组，确定了2个转速时，整个齿轮组的运动状态就确定了。
在很多情况下，行星轮自转的转速是我们不关心的，所以我们可以把两式相加，得到如下式子：
③
在某些地方，我们会看到有人用下面这种图来表示行星齿轮组各齿轮的转速关系，代表太阳轮、行星架、外齿圈转速的3个点始终在同一条直线上。
下面我来分析一下为什么会这样。先看下面这个坐标图，图中有3个点。
要使3个点在同一条直线上，只需要保证1，2两点间的斜率等于2，3两点间的斜率。
也就是
由于3个点只能平行于y轴移动，也就是3个点的x的值是固定不变的，所以我们可以取
，
代入原式：
④
也就是说，只要3个点的纵坐标满足第④个式子，3个点就在同一条直线上。
我们可以比较一下③和④两个式子，可以发现③式中的角速度ω和④式中的y满足相同的条件，所以我们只要让3条竖线之间的距离a和b分别等于外齿圈的半径和太阳轮的半径，那3个点的纵坐标就分别可以表示太阳轮转速，行星架转速，外齿圈转速。
